Excelでホーキンス・リンクをシミュレーションする （前編）

本日のお題は、「ロボット」のシミュレーションです。 とはいっても、本格的なCADを取り入れてシミュレーションをさせるのではなく、 Micro$oft の Excel を使ったシミュレーションのお話です。

Excelのアドインを多用していますので、適宜インストールしてから試してみてください。

方程式が解ければ…

ホーキンス・リンクは、「1自由度のリンク機構」です。 そのため、モータのクランクの角度が与えられたら、各関節の位置は原則として一意に決まります。

関節の位置のうち、"D"点は、固定されているので「既知」です。

D = AD
AD = 2

また、"B"点はクランクの角度θから簡単に求めることが出来ます。

B - A = AB * ej * θ
AB = 1

残った"C"点は、"B"点と"D"点からの距離が2.5 (BC, CD) になる点です。 "D"点から見た"C"の角度をφとすると、

C - D = CD * ej * φ
CD = 2.5
|B - C| = BC
BC = 2.5

"E"点は"B"点と"C"点が求められれば、計算できます。

E = B + (C - B) * (BE / BC)
BE = 5

と、書いていくと要はθからφを求めるだけの計算であることがわかります。 えぇい、このくらいの方程式解いちゃる。

と、思ったけど、ほどなく敗北。 こりゃ、めんどくさいわい。

ゴール・シークを使う

こういう方程式をヒューリスティックに解くための仕組みがExcelには装備されています。 「ゴール・シーク」というのが、そのツールの名前です。 まずは、方程式をExcelに書き出します。

	A	B
1	AB	1
2	AD	2
3	BC	2.5
4	CD	2.5
5	BE	5
6
7	theta	0
8	phi	0
9
10	A	=0
11	D	=B2
12	B	=IMSUM(B10,IMPRODUCT(B1,IMEXP(COMPLEX(0,B7,"j"))))
13	C	=IMSUM(B11,IMPRODUCT(B4,IMEXP(COMPLEX(0,B8,"j"))))
14	E	=IMSUM(B12,IMPRODUCT(IMSUB(B13,B12),B5/B3))
15	BC actual	=IMABS(IMSUB(B12,B13))
16	BC error	=B15-B3

"BC actual"は、与えられたθとφから計算された"BC"の長さです。 この長さと理想的な"BC"の長さとの差を"BC error"と定義しておいて、「BC error がゼロになるφを求める」のが「ゴール」になります。

この条件で「ゴール・シーク」を動かすと、

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多少の誤差は残っていますが、みごとに答えが見つかりました。 この作業をθが 0° から 360° までの範囲で変更しながら"E"点の値を記録していくと、軌跡が求まります。

考えてみたら、すごく手間のかかる作業です。 遠慮しておきます。

マクロでこなす方法が無いでもない

「ゴール・シーク」の一連の作業をマクロに記録するとこうなりました。

Sub Macro1()
    Range("B16").GoalSeek Goal:=0, ChangingCell:=Range("B8")
End Sub

表を作っておいて、それぞれのθについてこのマクロの記述と同様の方法で解を求めれば"E"点の軌跡が求まります。

---

実物は、こちら。

この方法でも良いのですが、後編では、別の方法を使います。

参考文献

「ゴール・シーク」は、この文献で紹介されていました。

ロボット機構学

• 作者: 鈴森 康一
• 出版社/メーカー: コロナ社
• 発売日: 2004/04
• メディア: 単行本

この本が必要になるほどのマクロは作成していません。

そこが知りたい!Excel VBAプロの技 Excel97/2000/2002/2003対応!

• 作者: 井川 はるき
• 出版社/メーカー: ナツメ社
• 発売日: 2003/11
• メディア: 単行本